本文对常见排序算法进行了总结，如插入排序、希尔排序、桶排序、快速排序等。对于每个排序算法，给出它的概述、简单实现及复杂度分析。

1. 插入排序

1.1 插入排序概述

插入排序（Insertion Sort）是一种非常简单的排序方法，对于大小为 N 的数组，考虑初始状态为单独的第一个元素，之后每次插入一个元素，使得子数组总处于排序好的状态，这样，经过 N-1 次插入，整个数组将处于有序状态。下表以一个简单的例子来描述插入排序的过程。

表中对一个大小 N = 5 的数组进行插入排序，初始状态认为只有第一个元素 42 处于排序好的状态，第 1 次将 31 插入子序列，由于插入后，子序列将不再处于有序状态，因此需要进行元素交换，在此交换 1 次即可；然后进行第 2 次，第 3 次插入，每次都对当前子序列进行排序（表中粗体部分表示当前已经排序好的序列），以此类推，直到第 N - 1 次（在此是第 4 次）插入，整个序列都将排好序。

1.2 插入排序实现

插入排序的实现也非常简单，在此以 C 语言为例，对大小为 N 的数组进行排序，代码如下。

void InsertionSort_swap(int A[], int N){
    for(int i = 1; i < N; i++){
        for(int j = i; j > 0 && A[j] < A[j - 1]; j--){
            int temp = A[j];
            A[j] = A[j - 1];
            A[j - 1] = temp;
        }
    }
}

外层 for 循环表示从第 1 次到 第 N-1 次插入，内层 for 循环表示对于每一次插入，都将新元素与原有元素进行比较，如果前者较小，则往前移动一位，直至达到有序状态。

上述实现虽然简单易懂，但只要仔细观察，就能发现仍有改进的余地。内层 for 循环我们通过 3 次赋值来实现相邻元素的交换，而事实上，对于新插入的元素，我们只是把当做一个比较的基准，我们不应该在每一次比较后都对这一基准进行移动，以避免显示的元素交换。因此，我们有了如下的实现。

void InsertionSort(int A[], int N){
      for(int i = 1; i < N; i++){
          int temp = A[i];
          int j;
          for(j = i; j > 0 && temp < A[j - 1]; j--){
              A[j] = A[j - 1];
          }
          A[j] = temp;
      }
}

改进之后，避免了繁琐的元素交换。在本机测试中，算法的性能也得到提升。

1.3 插入排序分析

从 InsertionSort_swap 和 InsertionSort 的对比中，可以看到不使用显示交换时，算法性能的提升。另外还可以看到，随着 N 的增加，算法耗时并不是线性增长的，基本上是呈现 $N^2$ 的增长趋势（如：N 从 50000 到 100000，规模变成原来的 2 倍，而耗时变成原来的 6.123 / 1.570 = 3.9 倍）。而事实上，插入排序的时间复杂度的确是 $O(N^2)$， 以下进行简单分析。

• Worst-case

  对于 InsertionSort ，需要插入 N - 1 次，考虑最坏情况（即逆序列），第 $i$ 次插入需要进行 $i+1$ 次赋值，因此总赋值次数为：

  $$\sum_{i=2}^Ni=2+3+4+…+N=\Theta(N^2)$$

• Best-case

  对于最优情况（即排好序的序列），每次插入都不需要移动元素，即不会进入内层 for 循环，因此其时间复杂度为 $O(N)$。

• Average-case

  而一般情况下，插入排序的平均时间复杂度为 $\Theta(N^2)$。为什么呢？在此直接引用几个结论来简单证明一下。我们注意到，对于越倾向于无序的序列，插入排序耗时越长，这二者是相关联的。那么，我们如何衡量一个序列的无序程度呢？其实就是看这个序列的逆序数的对数，逆序数的定义是：对一对数 (i, j)，i < j 但是 A[i] > A[j]，则称 (i, j) 是一对逆序数。

  设一个序列的逆序数是 $I$，那么用插入排序算法对这一序列排序的时间复杂度为 $O(I+N)$。那么插入排序平均时间复杂度的问题，就转变为序列的平均逆序数对数的问题。经证明，一个大小为 N 的序列，其平均逆序数为 $N\times(N-1)/4$ （证明略）。由此推出，插入排序的平均时间复杂度为 $O(N^2)$，更一般地，对于任何仅交换相邻元素的排序算法，$N^2$ 是一个下界。

因此，对于基本有序的输入，插入排序算法的执行效率较快；而倾向于无序的输入，插入排序并不令人满意。

2. 希尔排序

未完待续……